Математические методы на фондовом рынке

Привет всем!
Сегодня я решил рассказать про математические методы, которые можно использовать на фондовом рынке. Я прекрасно понимаю, что их немного больше, чем можно уместить в одной статье, но моя задача — объяснить приёмы, пользуясь которыми любой трейдер может выигрывать на фондовом рынке.
 
 1. Корреляционно-регрессионный анализ
Независимая на зависимую. Регрессионный анализ позволяет исследовать влияние одной или нескольких переменных на некоторую зависимую. Данное влияние выражается в уравнении регрессии.
Какая переменная может быть независимой? При анализе акций за переменную, имеющую влияние, можно взять время. Таким образом можно получить зависимость цены акции от времени в виде уравнения, что позволит делать прогноз, подставляя будущие значения времени.
Уравнение регрессии находится при использовании метода наименьших квадратов, когда минимизируется сумма квадратов отклонений реально наблюдаемых цен Y от их оценок Y :

Данная задача сводится к системе:

Где t – момент времени, y – цена акции.
Прогнозированиецен. Подставив значения времени на n периодов и соответствующие им цены акции y, находим параметры a0 и a1 и подставляем их в уравнение регрессии:

Подставляя будущие t, прогнозируем y.
 
 2. Вероятностный анализ свеч
По историческим данным можно попытаться обнаружить закономерность в появлении свечей, чем многие занимались, и даже были разработаны некоторые индикаторы на базе данного предположения о зависимости типа свечей от предшествующих им.
Идея заключается в том, чтобы разбить все свечи на несколько типов, а затем построить распределение вероятности появления тех или иных свечей на основании исторических данных. В реальном времени мы сможем определить тип свечи по её закрытию. Затем индикатор отражает вероятность появления различных типов дальнейшей свечи. Если вероятность достаточно велика, то можно открывать длинные или короткие позиции в зависимости от типа свечи.
Последующие три метода позволяют прогнозировать цены акции, предварительно установив, от каких основных факторов она зависит. Изменения факторов, следовательно, будут приводить к изменению цены акции, и последующие методы определяют зависимость между этими изменениями.
 
 3. Интегральный метод экономического анализа
Одним из таких способов (методов) является интегральный. Он находит применение при определении влияния отдельных факторов с использованием мультипликативных, кратных, и смешанных (кратно-аддитивных) моделей.
Недостатки других методов. В условиях применения интегрального метода имеется возможность получения более обоснованных результатов исчисления влияния отдельных факторов, чем при использовании метода цепных подстановок и его вариантов.
Метод цепных подстановок и его варианты, а также индексный метод имеют существенные недостатки:
1) результаты расчетов влияния факторов зависят от принятой последовательности замены базисных величин отдельных факторов на фактические;
2) дополнительный прирост обобщающего показателя, вызванный взаимодействием факторов, в виде неразложимого остатка присоединяется к сумме влияния последнего фактора.
Как интегральный метод исправляет недостатки других методов? При использовании интегрального метода дополнительный прирост обобщающего показателя делится поровну между всеми факторами.
Интегральный метод устанавливает общий подход к решению моделей различных видов, причем независимо от числа элементов, которые входят в данную модель, а также независимо от формы связи между этими элементами.
Он имеет в своей основе суммирование приращений функции, определенной как частная производная, умноженная на приращение аргумента на бесконечно малых промежутках.
В процессе применения интегрального метода необходимо соблюдение нескольких условий. Во-первых, должно соблюдаться условие непрерывной дифференцируемости функции, где в качестве аргумента берется какой-либо экономический показатель. Во-вторых, функция между начальной и конечной точками элементарного периода должна изменяться по прямой Ге. Наконец, в-третьих, должно иметь место постоянство соотношения скоростей изменения величин факторов
dy / dx = const.
При использовании интегрального метода исчисление определенного интеграла по заданной подынтегральной функции и заданному интервалу интегрирования осуществляется по имеющейся стандартной программе с применением современных средств вычислительной техники.
Если мы осуществляем решение мультипликативной модели, то для расчета влияния отдельных факторов на обобщающий экономический показатель можно использовать следующие формулы:
Z=xy;
ΔZ(x) = y0 *Δx + 1/2Δx *Δy
Z(y)=x0 * Δy +1/2Δx * Δy
 
При решении кратной модели для расчета влияния факторов воспользуемся такими формулами:
Z=x /y;
ΔZ(x) = Δx/Δy Ln y1/y0
ΔZ(y)=ΔZ — ΔZ(x)
 
Существует два основных типа задач, решаемых при помощи интегрального метода: статический и динамический. При первом типе отсутствует информация об изменении анализируемых факторов в течение данного периода. Примерами таких задач могут служить анализ выполнения бизнес-планов либо анализ изменения экономических показателей по сравнению с предыдущим периодом. Динамический тип задач имеет место в условиях наличия информации об изменении анализируемых факторов в течение данного периода. К этому типу задач относятся вычисления, связанные с изучением временных рядов экономических показателей.
Таковы важнейшие черты интегрального метода факторного экономического анализа.
 
4. Метод логарифмирования
Кроме этого метода, в анализе находит применение также метод (способ) логарифмирования. Он используется при проведении факторного анализа, когда решаются мультипликативные модели. Сущность рассматриваемого метода заключается в том, что при его использовании имеет место логарифмически пропорциональное распределение величины совместного действия факторов между последними, то есть эта величина распределяется между факторами пропорционально доле влияния каждого отдельного фактора на сумму обобщающего показателя. При интегральном же методе упомянутая величина распределяется между факторами в одинаковой мере. Поэтому метод логарифмирования делает расчеты влияния факторов более обоснованными по сравнению с интегральным методом.
В процессе логарифмирования находят применение не абсолютные величины прироста экономических показателей, как это имеет место при интегральном методе, а относительные, то есть индексы изменения этих показателей. К примеру, обобщающий экономический показатель определяется в виде произведения трех факторов — сомножителей f = x y z.
Найдем влияние каждого из этих факторов на обобщающий экономический показатель. Так, влияние первого фактора может быть определено по следующей формуле:
Δfx = Δf · lg(x1 / x0) / lg(f1 / f0)
Каким же было влияние следующего фактора? Для нахождения его влияния воспользуемся следующей формулой:
Δfy = Δf · lg(y1 / y0) / lg(f1 / f0)
Наконец, для того, чтобы исчислить влияние третьего фактора, применим формулу:
Δfz = Δf ·lg(z1 / z0)/ lg(f1 / f0)
Таким образом, общая сумма изменения обобщающего показателя расчленяется между отдельными факторами в соответствии с пропорциями отношений логарифмов отдельных факторных индексов к логарифму обобщающего показателя.
При применении рассматриваемого метода могут быть использованы любые виды логарифмов — как натуральные, так и десятичные.
 
5. Метод дифференциального исчисления
При проведении факторного анализа находит применение также метод дифференциального исчисления. Последний предполагает, что общее изменение функции, то есть обобщающего показателя, подразделяется на отдельные слагаемые, значение каждого из которых исчисляется как произведение определенной частной производной на приращение переменной, определяющей эту производную. Определим влияние отдельных факторов на обобщающий показатель, используя в качестве примера функцию от двух переменных.
Задана функция Z = f(x,y). Если эта функция является дифференцируемой, то ее изменение может быть выражено следующей формулой:

Где:
ΔZ = (Z1 — Z0) — величина изменения функции;
Δx = (x1 — x0) — величина изменения одного фактора;
Δy = (y1 — y0) -величина изменения другого фактора;
 - бесконечно малая величина более высокого порядка, чем 
 
В данном примере влияние отдельных факторов x и y на изменение функции Z (обобщающего показателя) исчисляется следующим образом:
ΔZx = δZ / δx · Δx; ΔZy = δZ / δy · Δy.
Сумма влияния обоих этих факторов — это (главная, линейная относительно приращения данного фактора) часть приращения дифференцируемой функции, то есть обобщающего показателя.