Алгоритмы маркетмейкера. Часть 3

Продолжаем разбирать работу JIANGMIN XU «Optimal Strategies of High Frequency Traders». Чтобы составить уравнение оптимального контроля, сначала сформулируем проблему оптимизации алгоритма при используемых стратегиях θ, как достижение максимума следующего матожидания:

$\max_{\theta^{mk},\theta^{tk}}\mathbb{E}_0[X_T-\gamma\int^T_0 Y^2_{t-}d[P,P]_t]$ ,

где интеграл $\gamma\int^T_0 Y^2_{t-}d[P,P]_t$ представляет собой штрафную функцию удержания ненулевой открытой позиции рискованного актива, γ- постоянный коэффициент, d[P,P]t- квадратичное изменение средней цены P, X_T — кэш трейдера на момент времени окончания торговли T.

Далее определим функцию, которая представляет активы трейдера после ликвидации всех открытых позиций в конце торговли по алгоритму с помощью маркет ордера:

$Q(x,y,p,f,s)=x+py-|y|(\frac{s}{2}+\epsilon)$ ,

где x — кэш трейдера,

p- средняя цена (в стакане),

y — открытая позиция,

s — спред,

f — дисбаланс объемов в стакане,

ϵ- комиссия.

С учетом функции Q дадим определение так называемой функции владения, которую мы и будем максимизировать на всем протяжении работы алгоритма:

$V(t,x,y,p,f,s)=\sup_{\theta^{mk},\theta^{tk}}\mathbb{E}_t[X_T+P_T Y_T-|Y_T|(\frac{S_T}{2}+\epsilon)-\gamma\int^T_0 Y^2_{t-}d[P,P]_t]$

Проблема оптимального контроля решается с применением динамически программируемых уравнений, и для составления первого уравнения для котировочных стратегий θmk представим инфинитезимальный оператор второго порядка L:

$\mathcal{L}\circ V(t,x,y,p,f,s)=(\mathcal{L}^P+\mathcal{L}^S+\mathcal{L}^F)\circ V(t,x,y,p,f,s)+$

$g^a(f,s,\theta^{mk,b}_t)\cdot V(t,x-(p-s/2+\delta \theta^{mk,b}_t,y+1,p,f,s)+$

$g^b(f,s,\theta^{mk,a}_t)\cdot V(t,x+(p+s/2-\delta \theta^{mk,a}_t,y-1,p,f,s)$

$\mathcal{L}^P,\mathcal{L}^F,\mathcal{L}^S$ — инфинитезимальные операторы процесса изменения средней цены P, дисбаланса объема в стакане F и спреда S соответственно. Несмотря на страшное название данные операторы просто обозначают воздействие изменяющихся в течение времени процессов цены, дисбаланса объема и спреда на функцию владения — то есть на активы, которыми владеет трейдер. Функции

$g^a(f,s,\theta^{mk,b}_t)=\theta^{mk,b}_t \lambda^a+(1-\theta^{mk,b}_t) \lambda^a h(f)$

$g^b(f,s,\theta^{mk,a}_t)=\theta^{mk,a}_t \lambda^b+(1-\theta^{mk,a}_t) \lambda^b h(-f)$

являются ни чем иным, как ожидаемой частотой исполнения лимитных ордеров на биде и аске соответственно. Здесь h(f)- вероятность взятия лимит ордера на лучшем аске(биде) в очереди заявок, в зависимости от дисбаланса f, имеет форму $h(u)=1/(1+\exp(\varsigma_0+\varsigma_1 u)), \varsigma_0, \varsigma_1$ — положительные константы. $\lambda^a,\lambda^b$ — частоты прихода маркет ордеров на бид и аск.

Для составления вторoго уравнения стратегии с маркет ордерами (take strategy) θtk , нам понадобится оператор импульсного управления M:

$\mathcal{M}\circ V(t,x,y,p,f,s)=\sup_{\zeta\in\{-\zeta_{max},\zeta_{max}\}}(V(t,x-\zeta p-|\zeta|(s/2+\epsilon),y+\zeta,p,f,s))$

Этот оператор отражает воздействие на функцию V(t,x,y,p,f,s) стратегии θtk, с целью максимизации функции владения во время применения этой стратегии.

С операторами L и M мы сможем составить неравенство, которое называется квазивариационное неравенство Хамильтона-Якоби-Беллмана (HJB-QVI):

$\max\left\{\frac{\partial V}{\partial t}+\sup\{\mathcal{L}\circ V\}-\gamma y^2\frac{\mathbb{E}_t[P,P]_t}{dt},\mathcal{M}\circ V-V\right\}=0$ , на промежутке[0,T), (T- время ликвидации открытых позиций (окончание торговли)), и составляет систему уравнений с терминальным условием:

$V(T,x,y,p,f,s)=x+py-|y|(s/2+\epsilon)$

Решением этой системы уравнений и будет набор стратегий θmk ,θtk, вычисленные на каждый момент времени в промежутке [0,T), и на каждую величину спреда s, как изображено на графиках в заглавии статьи. Обратите внимание, что там появилась новая область в связи с размером спреда S больше одного шага цены — Pinging on bid\ask side. В этой области значения θmk равны 1 для бида/аска, что означает, что лимитные ордера выставляются в стакане на тик больше бида (тик меньше аска) — см. часть 2 цикла статей.

В следующей части рассмотрим как решить систему уравнений численными методами.

Источник - www.quantalgos.ru

Котировки и цены

Алгоритмы маркетмейкера. Часть 3

Похожие публикации

Комментарии (9)