Алгоритмы маркетмейкера. Часть 4

Прошлые части цикла здесь. В этой части статьи мы найдем численное решение системы уравнений оптимального управления позицией маркетмейкера. Такое решение легко запрограммировать и использовать в реальной торговле для контроля за лимитными и маркет ордерами в соответствии с полученными стратегиями θmk,θtk. Для упрощения разложим функцию владения на слагаемые, чтобы получить сокращенную функцию владения v(t,y,f,s), которая представляет собой только динамическую составляющую основной функции:

V(t,x,y,p,f,s)=x+py+v(t,y,f,s)

Для v система уравнений выглядит следующим образом:

$\max\left[\frac{\partial v}{\partial t}+y\frac{\mathbb{E}_t dP_t}{dt}+\mathcal{L}^F\circ v-\gamma y^2\frac{\mathbb{E}_t d[P,P]_t}{dt}+$

$\sup_{\theta^{mk}}\left\{g^a(f,s,\theta^{mk,b}_t)(v(t,y+1,f,s)-v(t,y,f,s)+s/2-\delta \theta^{mk,b}_t)+$

$g^b(f,s,\theta^{mk,a}_t)(v(t,y-1,f,s)-v(t,y,f,s)+s/2-\delta\theta^{mk,a}_t)\},$

$\sup\{v(t,y+\zeta,f,s)-|\zeta|(s/2+\epsilon)\}-v]=0$

с терминальным условием:

$v(T,y,f,s)=-|y|(s/2+\epsilon).$

Переходим к численному решению. Зададим на интервале [0,T] дискретную сетку времени t с равными интервалами $\Delta_T=T/N_T$ :

$\mathbb{T}_{N_T}=\{t_k=k\Delta_T,k=0,...,N_T\}$

Также дискретизируем открытую позицию $\mathbb{Y}$ и дисбаланс объема $\mathbb{F}$ , с максимальными значениями M_Y, M_F и шагами дискретизации $\Delta_Y=M_Y/N_Y, \Delta_F=M_F/N_F$ , где

$\mathbb{Y}_{N_Y}=\{y_i=i\Delta_Y,i=-N_Y,...,N_Y\}, \mathbb{F}_{N_F}=\{f_j=j\Delta_F,j=-N_F,...,N_F\}.$

Далее, для вычисления численных производных по дисбалансу объема F, определим две дифференциальные матрицы — D1 для вычисления производной первого порядка и D2 — для вычисления производной второго порядка, на сетке $\mathbb{F}_{N_F}$ :

$D_2 v(t,y,f_j,s)=\Bigg(\frac{v(t,y,f_{j+1},s)-2v(t,y,f_j,s)+v(t,y,f_{j-1},s)}{(\Delta_F)^2}\Bigg)$

$\begin{matrix}D_1 v(t,y,f_j,s)= \left\{ \begin{matrix} \frac{v(t,y,f_{j+1},s)-v(t,y,f_j,s)}{\Delta_F}&amp; \mbox{if }f_j&lt; 0 \\ \frac{v(t,y,f_j,s)-v(t,y,f_{j-1},s)}{\Delta_F}&amp;\mbox{if }f_j\geq 0 \end{matrix} \right. \end{matrix}$

Обозначим оператор выбора для любой действительной функции $\phi\mapsto :\phi(t,y,f,s)$ :

$\mathcal{A}(t,y,f,s,\phi)=\max\{\widetilde{\mathcal{L}}(t,y,f,s,\phi),\widetilde{\mathcal{M}}\circ\widetilde{\mathcal{L}}(t,y,f,s,\phi)\}$

Оператор выбора имеет простой смысл: если некая функция ϕ максимальна при воздействии оператора $\widetilde{\mathcal{L}}$ (что для функции владения соответствует использованию лимитных ордеров) или оператора $\widetilde{\mathcal{M}}\circ\widetilde{\mathcal{L}}$ (использование маркет ордеров), то при текущих параметрах t,y,f,s выбирается именно эта политика (то есть лимитные или маркет-ордера).

Выражения для операторов в фигурных скобках:

$\widetilde{\mathcal{L}}(t,y,:,s,\phi)=(I_{N_F\times N_F}-\Delta_T\sigma^2_F D_2-\Delta_T\alpha_F(\mathbb{F}_{N_F}1_{N_F})..D_1)^{-1}\times$

$\Bigg(\phi(t,y,:,s)+\Delta_T y \frac{\mathbb{E}_t dP_t}{dt}+\Delta_T\mathcal{L}^S(\phi(t,y,:,s))-\Delta_T\gamma y^2\frac{\mathbb{E}_t d[P,P]_t}{dt}+$

$\Delta_T\sup_{\theta^{mk}}\{g^a(:,s,\theta^{mk,b}_t)..(\phi(t,y+1,:,s)-\phi(t,y,:,s)+s/2-\delta\theta^{mk,b}_t)+$

$g^b(:,s,\theta^{mk,a}_t)..(\phi(t,y-1,:,s)-\phi(t,y,:,s)+s/2-\delta\theta^{mk,a}_t)\}\Bigg)$ .

$\widetilde{\mathcal{M}}\circ\widetilde{\mathcal{L}}(t,y,f,s,\phi)=\sup_{|\zeta|\leq\zeta_{max}}\{\widetilde{\mathcal{L}}(t,y+\zeta,f,s,\phi)-|\zeta|(s/2+\epsilon)\}$

здесь $I_{N_F\times N_F}$ — матрица идентичности размерностью $N_F\times N_F$ (матрица, где по главной диагонали расположены единицы, остальные элементы 0), $\mathbb{F}_{N_F}$ — столбец значений дисбаланса, $1_{N_F}$ — единичный вектор размерностью $N_F\times 1$ ,… означает поэлементное произведение векторов и матриц. Таким образом, $\widetilde{\mathcal{L}}$ представляет собой вектор размерностью N_F на сетке $\mathbb{F}_{N_F}$ .

Аппроксимируем сокращенную функцию владения v численным решением w:

$w(T,y,f,s)=-|y|(s/2+\epsilon)$

$w(t_k,y,f,s)=\mathcal{A}(t_{k+1},y,f,s,w), k=N_T-1,N_T-2,..,0$

Полное решение для функции владения можно получить методом обратной индукции, который состоит из следующих последовательных шагов:

1. На конечный момент времени $t_{N_T}=T$ : для каждой комбинации значений (y,f,s) вычисляем $w(T,y,f,s)=-|y|(s/2+\epsilon)$ .

2. Начиная с момента времени tk+1 до момента tk, где k пробегает значения от N_T-1 до 0 для каждой комбинации (y,f,s) делаем следующее:

Вычисляем $\widetilde{\mathcal{L}}(t_{k+1},y,f,s,w)$ по вышеприведенной формуле и находим политику лимитных ордеров $\theta^{mk,*}$
Вычисляем $\widetilde{\mathcal{M}}\circ\widetilde{\mathcal{L}}(t_{k+1},y,f,s,w)$ , и находим политику маркет ордеров $\theta^{tk,*}$
Если $\widetilde{\mathcal{L}}(t_{k+1},y,f,s,w)\geq\widetilde{\mathcal{M}}\circ\widetilde{\mathcal{L}}(t_{k+1},y,f,s,w)$ , то текущей политикой на момент времени tk выбирается $\theta^{mk,*}$ , при значениях (y,f,s), то есть в этот момент времени используюся лимитные ордера, согласно значению $\theta^{mk,*}$ , которое, как мы помним означает выставление ордера, с количеством контрактов =1, или на лучший бид/аск, или перед/до него.
В обратном случае выбирается политика $\theta^{tk,*}$ в момент времени tk при значениях (y,f,s), то есть используются маркет ордера с количеством контрактов, вычисленных в $\theta^{tk,*}$

Таким образом, для всех значений времени t, всех значений открытой позиции y, всех значений дисбаланса объемов f и всех значений спреда s — (t,y,f,s)- мы определяем, какие ордера нам ипользовать в каждом случае, и формируем области, подобные указанным на графике в заглавии, где изображены политики при значениях спреда, равному шагу цены, и значению времени, меньше на 3 единицы (например, секунды) времени окончания торговли, для всех значений открытой позиции и спреда. Что означают эти области, вы можете посмотреть в части 2 и части 3 данного цикла статей. В следующей статье обсудим, как находить параметры в уравнении для $\widetilde{\mathcal{L}}(t_{k+1},y,f,s,w)$ , основываясь на реальных биржевых данных, и начнем составлять код на C# для численного решения методом обратной индукции.

Источник - quantalgos.ru

Котировки и цены

Алгоритмы маркетмейкера. Часть 4

Похожие публикации

Комментарии (7)